Wavelet анализ на редове от данни
Тех инфо | 15 август 2022
В този доклад ще разкажем накратко за някои от най-използваните съвременни методи за обработка на сигнали и анализ на редове от данни. Ще се придържаме към прост и разбираем език, без излишни математически сложности, формули и прекалено строга научна терминология.
Преобразование на Фурие
В началото на XIX век, френският математик Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) изучава разпространението на топлина в телата и се опитва да реши уравнението за топлопреноса в метална пластина [2][3]. До онзи момент, точно решение на уравнението е било известно само за някои частни случаи, където изочникът на топлина е представен чрез проста хармонична вълна – синус или косинус. Фурие открива, че може да представи произволен топлиннен източник като суперпозиция (или сума) от прости хармонични функции и да получи решение на уравнението в общия случай отново като суперпозиция от съответните прости решения. Така той открива, че произволна непрекъсната периодична функция може да се представи като безкраен ред от хармонични функции (синус и косинус) с кратни честоти, наречен ред на Фурие. В общия случай на произволна непериодична функция, идеята се обобщава до т. нар. транформация на Фурие. Изследването на даден сигнал като суперпозиция от хармонични периодични функции и разглеждането му в честотното пространство се нарича Фурие анализ. Честотното съдържание на сигнала се нарича спектър.

Може би ще попитате защо точно синус и косинус? Има редица строго математически отговори на този въпрос и всички те са верни. Едно широкоразпространено обяснение е, че синус и косинус са собствените функции на линейния оператор и затова, те се запазват при линейните преобразувания [4]. Тук искаме да дадем един малко по-различен отговор, базиран на научните представи към епохата, в която живее Фурие. Още от древността, учените и философите разглеждат две първични и божествени движения, до които се свеждат всички движения във вселената. Това са праволинейното равномерно движение, залегнало в законите на Нютон и равномерното движение по окръжност, което се разглежда от Галилей, но е изхвърлено по-късно при формулировката на принципите в механиката. Спомнете си за геоцентричната система на Клавдий Птолемей преди повече от две хилядолетия, при която орбитите на небесните тела се описваха чрез съвкупност от наслагващи се равномерни кръгови движения с различни големини, наречени диференти и епицикли. Функциите синус и косинус са просто проекциите на равномерното движение по окръжност върху координатните оси. Затова преобразованието на Фурие може да се разглежда като израз на връзката на произволен процес с това първично божествено движение.

Откритието на Фурие остава на заден план в науката повече от век и получава заслужено внимание чак през 60-те години на XX век, след публикуването на компютърния алгоритъм за пресмятането на т. нар. бързо преобразование на Фурие (Fast Fourier Transform, FFT) [1]. След този момент Фурие анализът се превръща в основен научен инструмент с огромно приложение във всички области на съвременната наука.
Едно от най-важните предимства на преобразованието на Фурие е неговата локализираност в честотното пространство, т.е. базисните функции (синус и косинус) са с точно определени честоти. Затова Фурие спектърът е много удобен, когато трябва да се разглежда произволен сигнал от честотна гледна точка. Парадоксално, но това води и до най-големия недостатък на преобразованието на Фурие – липсата на информация за честотното съдържание във времето. Дължи се на факта, че хармоничните функции са безкрайни, периодични, незатихващи функции и затова не са локализирани в даден момент от времето. Разглеждайки просто спектъра, можем да кажем какви честоти съдържа сигналът, но не знаем в кой точно момент от неговото развитие те са представени. Последното е много важно при изучаването на нестационарни процеси, каквито са болшинството от процесите във физиката и въобще, в природните науки. Необходимо е да знаем не просто честотното съдържание на сигнала, а и как то се променя във времето. Затова в съвременната наука са разработени други методи, позволяващи по-задълбочен анализ на такива процеси.
Wavelet преобразование
Идеята за Wavelet преобразованието (Wavelet Transform, WT) се заражда преди близо век, като същинското ѝ развитие и точна математическа формулировка продължава през 80-те и 90-те години на XX век. Наименованието идва от английската дума wavelet
, която означава буквално малка вълничка.
Същността на метода се състои в конволюиране на изучавания сигнал с транслирана във времето и мащабирана версия на избрания базисен wavelet [5][6]. Неговото най-важно свойство е да бъде добре локализиран във времево (или пространствено) и честотно отношение. По този начин се гарантира достатъчно добро разрешение по време и по мащаб. Като следствие от WT, при изучаване на едномерен сигнал се получава двумерен енергитичен спектър с развитие по време и по мащаб (честота). Това е все едно да наблюдаваме изучавания сигнал през оптична лупа, имаща честотна характеристика описвана с базисния wavelet, като обхождаме (транслираме) сигнала от началото до края. На следващата стъпка, променяме мащаба на базисния wavelet и отново обхождаме последователно сигнала и т. н. По този начин, след повтаряне на описания процес за всички избрани мащаби, изграждаме двумерното wavelet представяне на сигнала. На следващата фигура са показани някои от най-често използваните базисни wavelet функции.

Следващите фигури демонстрират някои типични сигнали и техните Wavelet енергитични спектри (Wavelet Power Spectrum).




WT намира огромно приложение в съвременната наука при изучаването на нестационарни процеси, характерни за редица области като геофизика, астрофизика, акустика, оптика, медицина, икономика, биология и др. Важно приложение WT намира във филтрацията и компресирането на данни. Алгоритмите в основата на стандарта JPEG2000 са базирани на Wavelet преобразованието.
Литература
- Cooley J., Tukey J.
An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series
, Mathematics of Computation, Vol. 19, pp. 297-301, 1965. - Fourier J.
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides
, 1807. - Fourier J.
Théorie analytique de la chaleur
, F. Didot père et fils (Paris), No. 24, 1822. - Max J.
Methodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques
, Masson, 1981. - Torrence C., Compo G.
A practical guide to wavelet analysis
, Bulletin of the American Meteorological Society, Vol. 79, pp. 61-78, 1998. - Астафьева Н.
Вейвлет анализ. Основы теории и примеры применения
, Успехи Физических Наук, Vol. 166, No.11, pp. 1145-1170, 1996.