Wavelet анализ на редове от данни

Преобразование на Фурие

В началото на XIX век, френският математик Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) изучава разпространението на топлина в телата и се опитва да реши уравнението за топлопреноса в метална пластина [2][3]. До онзи момент, точно решение на уравнението е било известно само за някои частни случаи, където изочникът на топлина е представен чрез проста хармонична вълна – синус или косинус. Фурие открива, че може да представи произволен топлиннен източник като суперпозиция (или сума) от прости хармонични функции и да получи решение на уравнението в общия случай отново като суперпозиция от съответните прости решения. Така той открива, че произволна непрекъсната периодична функция може да се представи като безкраен ред от хармонични функции (синус и косинус) с кратни честоти, наречен ред на Фурие. В общия случай на произволна непериодична функция, идеята се обобщава до т. нар. транформация на Фурие. Изследването на даден сигнал като суперпозиция от хармонични периодични функции и разглеждането му в честотното пространство се нарича Фурие анализ. Честотното съдържание на сигнала се нарича спектър.

Може би ще попитате защо точно синус и косинус? Има редица строго математически отговори на този въпрос и всички те са верни. Едно широкоразпространено обяснение е, че синус и косинус са собствените функции на линейния оператор и затова, те се запазват при линейните преобразувания [4]. Тук искаме да дадем един малко по-различен отговор, базиран на научните представи към епохата, в която живее Фурие. Още от древността, учените и философите разглеждат две първични и божествени движения, до които се свеждат всички движения във вселената. Това са праволинейното равномерно движение, залегнало в законите на Нютон и равномерното движение по окръжност, което се разглежда от Галилей, но е изхвърлено по-късно при формулировката на принципите в механиката. Спомнете си за геоцентричната система на Клавдий Птолемей преди повече от две хилядолетия, при която орбитите на небесните тела се описваха чрез съвкупност от наслагващи се равномерни кръгови движения с различни големини, наречени диференти и епицикли. Функциите синус и косинус са просто проекциите на равномерното движение по окръжност върху координатните оси. Затова преобразованието на Фурие може да се разглежда като израз на връзката на произволен процес с това първично божествено движение.

Откритието на Фурие остава на заден план в науката повече от век и получава заслужено внимание чак през 60-те години на XX век, след публикуването на компютърния алгоритъм за пресмятането на т. нар. бързо преобразование на Фурие (Fast Fourier Transform, FFT) [1]. След този момент Фурие анализът се превръща в основен научен инструмент с огромно приложение във всички области на съвременната наука.

Едно от най-важните предимства на преобразованието на Фурие е неговата локализираност в честотното пространство, т.е. базисните функции (синус и косинус) са с точно определени честоти. Затова Фурие спектърът е много удобен, когато трябва да се разглежда произволен сигнал от честотна гледна точка. Парадоксално, но това води и до най-големия недостатък на преобразованието на Фурие – липсата на информация за честотното съдържание във времето. Дължи се на факта, че хармоничните функции са безкрайни, периодични, незатихващи функции и затова не са локализирани в даден момент от времето. Разглеждайки просто спектъра, можем да кажем какви честоти съдържа сигналът, но не знаем в кой точно момент от неговото развитие те са представени. Последното е много важно при изучаването на нестационарни процеси, каквито са болшинството от процесите във физиката и въобще, в природните науки. Необходимо е да знаем не просто честотното съдържание на сигнала, а и как то се променя във времето. Затова в съвременната наука са разработени други методи, позволяващи по-задълбочен анализ на такива процеси.

Wavelet преобразование

Идеята за Wavelet преобразованието (Wavelet Transform, WT) се заражда преди близо век, като същинското ѝ развитие и точна математическа формулировка продължава през 80-те и 90-те години на XX век. Наименованието идва от английската дума wavelet, която означава буквално малка вълничка.

Същността на метода се състои в конволюиране на изучавания сигнал с транслирана във времето и мащабирана версия на избрания базисен wavelet [5][6]. Неговото най-важно свойство е да бъде добре локализиран във времево (или пространствено) и честотно отношение. По този начин се гарантира достатъчно добро разрешение по време и по мащаб. Като следствие от WT, при изучаване на едномерен сигнал се получава двумерен енергитичен спектър с развитие по време и по мащаб (честота). Това е все едно да наблюдаваме изучавания сигнал през оптична лупа, имаща честотна характеристика описвана с базисния wavelet, като обхождаме (транслираме) сигнала от началото до края. На следващата стъпка, променяме мащаба на базисния wavelet и отново обхождаме последователно сигнала и т. н. По този начин, след повтаряне на описания процес за всички избрани мащаби, изграждаме двумерното wavelet представяне на сигнала. На следващата фигура са показани някои от най-често използваните базисни wavelet функции.

Следващите фигури демонстрират някои типични сигнали и техните Wavelet енергитични спектри (Wavelet Power Spectrum).

WT намира огромно приложение в съвременната наука при изучаването на нестационарни процеси, характерни за редица области като геофизика, астрофизика, акустика, оптика, медицина, икономика, биология и др. Важно приложение WT намира във филтрацията и компресирането на данни. Алгоритмите в основата на стандарта JPEG2000 са базирани на Wavelet преобразованието.

Литература

1. Cooley J., Tukey J. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Mathematics of Computation, Vol. 19, pp. 297-301, 1965.
2. Fourier J. Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, 1807.
3. Fourier J. Théorie analytique de la chaleur, F. Didot père et fils (Paris), No. 24, 1822.
4. Max J. Methodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques, Masson, 1981.
5. Torrence C., Compo G. A practical guide to wavelet analysis, Bulletin of the American Meteorological Society, Vol. 79, pp. 61-78, 1998.
6. Астафьева Н. Вейвлет анализ. Основы теории и примеры применения, Успехи Физических Наук, Vol. 166, No.11, pp. 1145-1170, 1996.